PLANO CARTESIANO
Qué es el Plano
cartesiano:
Como plano cartesiano
se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. Su
nombre cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes.
Un plano cartesiano
está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas
perpendiculares o coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de
las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el
eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y.
La finalidad del plano
cartesiano es ubicar parejas de puntos llamadas “parejas ordenadas” que forman “coordenadas”
que están formadas con un valor X y un valor Y representado como P(X,Y), donde
P es el nombre del punto, por ejemplo: P(3,4) se puede observar que el 3
pertenece al eje de las abscisas y, el 4 al eje de las ordenadas.
Asimismo, sirve para
analizar matemáticamente figuras geométricas como: parábola, hipérbole, línea,
circunferencia y eclipse, los cuales forman parte de la geometría analítica.
Para encontrar la
función en un plano cartesiano se debe primero tabular, o sea, ordenar los
puntos en una tabla las parejas encontradas para posicionarlas o ubicarlas
después en el plano cartesiano.
X
|
Y
|
Coordenada
|
2
|
3
|
(2,3)
|
-4
|
2
|
(-4,2)
|
6
|
-1
|
(6,-1)
|
Funciones en un plano
cartesiano
Una función
representada como: f(x)=y es una operación para obtener de un variable
independiente (dominio) las variables dependientes (contra dominio o imagen).
Por ejemplo: f(x)=3x
Función de x
|
Dominio (X)
|
Imagen (Y)
|
f(2)=3x
|
2
|
6
|
f(3)=3x
|
3
|
9
|
f(4)=3x
|
4
|
12
|
La relación del
dominio y la imagen o contra dominio es biunívoca significando que tiene solo
dos puntos correctos.
Videos Apoyo al Tema del Plano Cartesiano
TRASLACIÓN, ROTACIÓN, REFLEXIÓN DE
FIGURAS EN EL PLANO CARTESIANO
La traslación, la rotación y la reflexión son movimientos que se realizan con una figura en un plano; a la izquierda, a la derecha, diagonal, arriba y abajo.
Traslación: Es el desplazamiento hacia la
derecha, hacia la izquierda, arriba, abajo, diagonal de una figura plana; a lo
largo de una recta, con distancia y dirección definida.
Procedimiento para
trasladar una figura
Punto de partida y Punto
de llegada (se usan unidades del movimiento)
Y la dirección en que
se mueve la figura (arriba, abajo, derecha e izquierda)
Ejemplo 1:
Trasladar la figura 12
unidades a la derecha
Para trasladar se inicia contando las unidades, desde el inicio de la figura a trasladar.
Rotación: Es el giro de una figura plana
alrededor de un punto llamado Centro de Rotación; y a lo largo de un ángulo de
giro, sin que cambien sus características.
Antes de hacer los
ejercicios de rotación de las figuras se debe recordar que una circunferencia
mide 360° grados.
Ejemplo:
Rotar la figura hacia
la derecha 90°
Reflexión: Es invertir la posición de una
figura con respecto a una recta llamada que de simetría.
Ejemplo 1:
Cuando una figura se
refleja en un espejo, se invierte su imagen; es decir, si estaba hacia arriba
se ve hacia abajo.
Aquí la montaña es una figura simétrica que se invierte o se refleja en el agua, como si fuera un espejo.
Ejemplo 2:
Mira que el eje de simetría actúa como un espejo.
Videos Apoyo al Tema de Movimientos en el Plano
Homotecia: Una homotecia es una
transformación del plano en si mismo que se define de la manera siguiente:
·
Se determina un Punto O como centro de la homotecia.
·
Se determina un número
real como razón de la homotecia.
·
La Imagen P' de un punto P está situada sobre la Semirrecta OP
·
O es su propia imagen
(O' y O coinciden).
Una homotecia de centro O y razón k se denota H (O; k)
Concepto: Una homotecia es una transformación
afín que, a partir de un punto fijo "O", multiplica todas las distancias de la figura "ABCD" por un
mismo factor "K", donde se genera una nueva figura "A'B'C'D'". En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único
punto fijo "O", llamado centro de la transformación.
Propiedades de la
Homotecia
Para toda H(O; k) se cumple: 1. La imagen de una recta es una recta
paralela a ella. 2. La imagen de un segmento es un segmento paralelo a el y que
tiene k veces su longitud. 3. La imagen de un ángulo es un ángulo que tiene su
misma amplitud.
Las propiedades de la homotecia
se pueden demostrar aplicando el teorema reciproco del Teorema de las
transversales y el Teorema fundamental de la semejanza de triángulos.
Movimiento
Cuando se realizan
sucesivamente varios movimientos (por ejemplo, si se hace una traslación a una
figura, después se le aplica a la imagen obtenida una Simetría central y finalmente
se le aplica a la nueva imagen, una reflexión) se obtiene una figura igual a la
original. A esta realización sucesiva de movimientos se le denomina composición
de movimientos.
La composición de
varios movimientos es también un movimiento. De forma análoga cuando
sucesivamente se realizan varias homotecias, se habla entonces de composición
de homotecias.
La composición de dos
homotecias H (O1, k1) y H (O2, k2) donde k1• k2 =1 es nuevamente una homotecia,
su razón k3 = k1 • k2 y su centro O3 se encuentra situado sobre la recta O1O2.
También se puede hacer la composición de una homotecia con un movimiento.
Generalizando se puede
definir una homotecia H (O; -k) con k > 0 como la composición de una
homotecia H (O; k) con una simetría central de centro O.
Transformaciones de Figuras
Semejantes
Toda composición de
una homotecia con un movimiento se llama transformación semejante.
Todo movimiento es de
hecho una transformación semejante, pues basta considerarlo como la composición
de un movimiento con una homotecia de razón k = 1. Siempre se cumple que la
imagen de una figura geométrica cualquiera por una transformación semejante, es
semejante a la figura original.
Dos figuras
geométricas F1 y F2 son semejantes, si existe una transformación semejante por
la cual una se trasforma en la otra. Se escribe entonces F1~ F2.
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Videos Apoyo al Tema de las Homotecias
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