NÚMEROS OPUESTOS O INVERSO ADITIVO
El inverso aditivo es el elemento neutro
que se utiliza en una adición para logar un resultado igual a 0. Dentro de los
números naturales o números que se utilizan para el conteo de elementos en un
conjunto, todos tiene un inverso aditivo menos el “0”, ya que él mismo es su
inverso aditivo. De esta manera 0 + 0 = 0.
El inverso aditivo de un número natural
es un número cuyo valor absoluto tiene el mismo valor, pero con un signo
opuesto. Esto quiere decir que el inverso aditivo de 3 es -3, porque 3 + (-3) =
0.
Propiedades del inverso aditivo
Primera propiedad
La principal propiedad del inverso
aditivo es aquella de la cual se deriva su nombre. Ésta indica que si a un
número entero-números sin decimales- se le suma su inverso aditivo el resultado
tiene que ser “0”. Así: 5 – 5 = 0
En este caso, el número opuesto o inverso
aditivo de “5” es “-5”.
Segunda propiedad
Una propiedad clave del inverso aditivo
consiste en que la sustracción de cualquier número es equivalente a la suma de
su inverso aditivo.
Numéricamente este concepto se
explicaría de la siguiente forma:
3 – 1 = 3 + (-1)
2 = 2
Esta propiedad del inverso aditivo se
explica según la propiedad de la sustracción que indica que, si sumamos la
misma cantidad al minuendo y al sustraendo, la diferencia en el resultado debe
mantenerse. Es decir:
3 – 1 = [3 + (-1)] – [1 + (-1)]
2 = [2] – [0]
2 = 2
De esta forma, al modificar la ubicación
de alguno de los valores a los lados del igual, se estaría modificando también
su signo, pudiendo así obtener el inverso aditivo. Así:
2 – 2 = 0
Aquí el “2” con signo positivo pasa a
restar al otro lado del igual, convirtiéndose en el inverso aditivo.
Esta propiedad hace posible transformar
una resta en una suma. En este caso, al tratarse de números enteros, no es
necesario realizar procedimientos adicionales para llevar a cabo el proceso de
la resta de elementos.
Tercera propiedad
El inverso aditivo es fácilmente
calculable al hacer uso de una operación aritmética simple, que consiste en
multiplicar el número cuyo inverso aditivo queremos hallar por “-1”. Así:
5 x (-1) = -5
Entonces, el inverso aditivo de “5” será
“-5”.
GRÁFICA Y ORDEN DE LOS ENTEROS
Dentro de los conjuntos numéricos están
los enteros. Los enteros son los números naturales y sus negativos. Al
comparar enteros, usarás verbos matemáticos como menor que, mayor que,
aproximadamente igual a e igual a. Para graficar un entero en una recta
numérica, debes dibujar un punto sobre el número que quieras representar.
Ejemplo A
Compara los números 2 y –5.
Solución: Primero, dibujaremos ambos números en
una recta numérica.
Podemos comprar enteros al establecer
cual es mayor y cual es menor. Ya que el número mayor se
encuentra más a la derecha y el menor se encuentra a la izquierda.
En el diagrama de arriba, podemos ver
que 2 se encuentra más a la derecha en la recta que –5. Podemos usar el
símbolo >; para representar "mayor que".
Por lo Tanto, 
.
.
Graficación de números opuestos
Cada número real, incluidos los enteros,
tienen un opuesto, como lo vimos en el titulo anterior, y
representa la misma distancia del cero pero en la dirección contraria.
Se genera una situación especial si
sumamos un número con su opción. La suma es cero. Esto se resume en la Primera
propiedad del Inverso Aditivo, que dice que para cualquier número real a , a
+ (-a) = 0.
Podemos ver que -5 es el inverso aditivo
u opuesto de 5.
Gráfica de Enteros
En general como pudimos observar para
graficar cualesquier valor o número entero en la recta, solo se debe ubicar
sobre la misma con un punto y se debe tener en cuenta, de forma muy cuidadosa
el signo, ya que este depende hacia donde lo debemos ubicar.
VALOR RELATIVO DE UN NÚMERO
El valor relativo corresponde al valor
posicional y por lo tanto, el número relativo de un número, solo depende
de que si se encuentra a la derecha del origen o punto cero será un número con
signo positivo. De lo contrario si se encuentra al lado izquierdo será un
número con signo negativo.
Ejemplos de números relativos
a.) El número 5 a la izquierda es el -5
b.) El número 8 a la derecha es el +8
c.) El número del origen es el 0, ya que
este no puede tener signo.
Videos Apoyo al Tema de Graficación
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto representa la
distancia desde el cero al graficar un punto en una recta numérica. Por
ejemplo, el número 7 está a 7 unidades del cero. El número –7 también está
a 7 unidades del cero.
Entonces todo valor absoluto de un
número es la distancia a la que se encuentra del cero, y por lo tanto, entre 7
y -7 es, en ambos casos su valor absoluto igual a 7.
Un número y su inverso aditivo se
encuentran a la misma distancia del cero, por lo que sus valores absolutos son
los mismos.
Para escribir el valor absoluto
de -7 se hará de la siguiente manera:
|-7|, o sea que lo escribiremos entre dos líneas verticales que significan
valor absoluto de un número.
Podemos leer la expresión |x| como
"el valor absoluto de X".
- Considere las expresiones de valores
absolutos como paréntesis. Si hay una operación dentro del símbolo de
valor absoluto, debes evaluar esa operación primero.
- El valor absoluto de un número o una
expresión siempre es positivo o cero. No puede ser negativo. El
valor absoluto solo representa la distancia desde el cero, no la
dirección.
Ejemplos:
a. |-16| = 16
b. |5 + 4| = |9| = 9
c. 3 - |4 - 9| = 3 - |-5| = 3 – 5 = - 2
d. |-5 -11| = |-16| = 16
e. -|7 - 22| = -|-15| = -(15) =-15
Observa que en todos los casos el valor
absoluto es el valor positivo, de la única forma que existe una respuesta
negativa es que exista un signo negativo delante de las barras del valor
absoluto.
Videos Apoyo al Tema de Valor Absoluto
OPERACIONES ENTRE NÚMEROS ENTEROS.
¿Qué son los números enteros?
Los números enteros son el
conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto
con el número 0. Se les representa por la letra Z, letra inicial del
vocablo alemán Zahien, también se escribe con la letra z con doble
lineado así: ℤ, este conjunto se representa como
aparece a continuación:
Z = {-∞…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, 4, 5…+∞}
SUMA Y RESTA DE ENTEROS.
Para sumar o restar dos números
enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente
modo:
·
Si dos sumandos tienen el mismo signo:
ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los
valores absolutos de los sumandos.
·
Si dos sumandos tienen distinto signo:
o El signo del resultado es el signo del
sumando con mayor valor absoluto.
o El valor absoluto del resultado es la
diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre
los dos sumandos.
·
La resta de dos números enteros (minuendo
menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo
cambiado de signo.
Ejemplos de suma. (No olvidemos la ley de los signos)
(+44) + (−17) = +44 – 17 = +27
(+19) + (+55) = +19 + 55 = +74
(−73) + (+34) = −73 + 34 = −39
(−39) + (−57) = −39 – 57 = −96
Obsérvese que siempre que existen dos
números con el mismo signo positivo o negativo, siempre se suman las
cantidades, pero cuando son de signos contrarios, siempre se restan las
cantidades.
Ejemplos de resta.
(+30) − (−15) = +30 + 15 = +45
(−17) − (+36) = −17 − 36 = −53
(−14) − (−28) = −14 + 28 = +14
(+62) − (+79) = +62 − 79 = −17
Obsérvese que mientras operamos con los
números aplicamos al mismo tiempo la ley de los signos, ya que ningún número
debe tener más de dos signos delante de él, aunque sean separados por símbolos
de agrupación como lo son los paréntesis.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS.
En la multiplicación y en la división
de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del
resultado de la siguiente manera:
·
El valor absoluto es el producto (o
cociente) de los valores absolutos de los factores (o del dividendo y divisor).
·
El signo es «+» si los signos de los
factores (o del dividendo y divisor) son iguales, y «−» si son distintos.
Regla de los signos - Multiplicación y División
·
(+) × (+) = (+) Más por más igual a
más.
·
(+) × (−) = (−) Más por menos igual a
menos.
·
(−) × (+) = (−) Menos por más igual a
menos.
·
(−) × (−) = (+) Menos por menos igual
a más.
Ejemplos de multiplicación.
(+25) × (+4) = +100
(+24) × (−6) = −144
(−17) × (+8) = −136
(−91) × (−2) = +182
Ejemplos de división.
(−32) ÷ (+4) = −8
(−38) ÷ (−2) = +19
(+45) ÷ (+3) = +15
(+66) ÷ (−6) = −11
POTENCIA DE ENTEROS
Una Potencia es el producto
de n factores
iguales.
Los elementos que
intervienen en la potencia son tres:
1.
El factor que se repite y se multiplica se denomina Base.
2.
El número que está en la parte superior derecha y que nos indica
cuantas veces debemos multiplicar la Base, se denomina Exponente.
3. El resultado se denomina, Potencia. Como aparece
en la figura. Se lee, dos elevado a la tercera potencia y es igual a 2 x 2 x 2 = 8
Ejemplos de potenciación
(−3)5 = (−3) × (−3)
× (−3) × (−3) × (−3) = −243
(−2)8 = (−2) × (−2)
× (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = +256
RADICACION DE ENTEROS
La radicación es la operación
inversa a la potenciación.
Los elementos que intervienen
en la radicación:
1.
Indice, corresponde al número que se le asigna al radical. En el caso de
la figura es el número dos y entonces se leerá Raíz cuadrada.
2.
La cantidad que se ubica dentro del radical, se denomina cantidad subradical o Radicando.
3.
El resultado, es la raíz (n) del radicando.
Ejemplos de radicación
LOGARITMACIÓN DE ENTEROS
Es la operación matemática
inversa a la potenciación, con ella es posible hallar el exponente si se conoce
la base y la potencia.
El logaritmo que observamos
en el ejemplo se lee:
Logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3.
Ejemplos de logaritmación
Videos Apoyo al Tema de Operaciones con Enteros
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