Lógica matemática. Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En
un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si
es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en
matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para
verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y
naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales
y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se
usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
La historia de la lógica documenta el desarrollo de la lógica en varias
culturas y tradiciones a lo largo de la historia. Aunque muchas culturas han
empleado intrincados sistemas de razonamiento, e, incluso, el pensamiento
lógico estaba ya implícito en Babilonia en algún sentido, la lógica como
análisis explícito de los métodos de razonamiento ha recibido un tratamiento
sustancial solo originalmente en tres tradiciones: la Antigua China, la Antigua
India y la Antigua Grecia.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro áreas: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la
computabilidad. La teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron
el fundamento de la lógica matemática. La teoría de conjuntos se originó en el
estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de muchos de los
temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, a partir del teorema
de Cantor, el axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis
del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales. La lógica
matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación. La
teoría de la computabilidad captura la idea de la computación en términos
lógicos y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungs
problem de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. Hoy en
día, la teoría de la computabilidad se ocupa principalmente del problema más
refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente
solucionable?) y de la clasificación de los grados de insolubilidad.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Las lógicas proposicionales carecen de cuantificadores o variables
de individuo, pero tienen variables proposicionales (es decir, que se pueden
interpretar como proposiciones con un valor de verdad definido), de ahí el
nombre proposicional. Los sistemas de lógica proposicional incluyen además conectivas lógicas, por lo que dentro
de este tipo de lógica se puede analizar la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin
tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.
EJEMPLO
Considérese
el siguiente argumento:
1.
Mañana es miércoles o mañana
es jueves.
2.
Mañana no es jueves.
3.
Por
lo tanto, mañana es miércoles.
Es
un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas (1) y (2)
sean verdaderas y la conclusión (3) falsa.
Sin
embargo, a pesar de que el argumento sea válido, esto no quiere decir que la
conclusión sea verdadera. En otras palabras, si las premisas son falsas,
entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son
verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez del argumento no
depende del significado de las expresiones “mañana es miércoles” ni “mañana es jueves”,
sino de la estructura misma del argumento. Estas premisas podrían cambiarse por
otras y el argumento permanecería válido. Por ejemplo:
1.
Hoy está soleado o está nublado.
2.
Hoy no está nublado.
3.
Por
lo tanto, hoy está soleado.
La
validez de los dos argumentos anteriores depende del significado de las
expresiones «o» y «no». Si alguna de estas expresiones se cambia por otra,
entonces los argumentos podrían dejar de ser válidos. Por ejemplo, considérese
el siguiente argumento inválido:
1.
Ni
está soleado ni está nublado.
2.
No
está nublado.
3.
Por
lo tanto, está soleado.
Estas
expresiones como «o» y «no», de las que depende la validez de los argumentos,
se llaman conectivas lógicas.
En cuanto a expresiones como “está nublado” y “mañana es jueves”, lo único que
importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las
reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con
valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales,
y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p (de “proposición”)
luego q, r, s, etc. Es así que los dos primeros argumentos
de esta sección se podrían reescribir así:
1.
p
o q
2.
No
q
3.
Por
lo tanto, p
Y
el tercer argumento, a pesar de no ser válido, se puede reescribir así:
1.
Ni
p ni q
2.
No
q
3.
Por
lo tanto, p
A continuación, hay una tabla que despliega todas las conectivas
lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en
el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje
formal.
En la lógica proposicional, las conectivas lógicas se tratan como funciones
de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de
valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva
lógica «no» es una función que, si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si
toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función
«no» a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo
verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no
está lloviendo».
TABLAS DE VERDAD
Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de
los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al
construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:
·
Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos
·
Como construcción de
un sistema matemático puro
·
Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.
Verdad
El valor verdadero se representa con la letra V;
si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito
eléctrico, el circuito está cerrado cuando está presente la afirmación de V.
Falso
El valor falso F; si se emplea notación
numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el
circuito está abierto.
Variable
Para una variable lógica A, B, C,
... pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores
fundamentales se definen así:
Negación
La negación operador que se ejecuta, sobre un único
valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición
considerada.
Conjunción
La conjunción es un operador, que actúa sobre dos
valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones,
devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son
verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir, es verdadera
cuando ambas son verdaderas.
En términos más simples, será verdadera cuando las
dos proposiciones son verdaderas.
La tabla de verdad de la conjunción es la
siguiente:
Disyunción
La disyunción es un operador lógico que actúa sobre
dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones,
devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones
es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
En términos más simples, será verdadera cuando por
lo menos una de las proposiciones es verdadera de lo contrario será falsa.
La tabla de verdad de la disyunción es la
siguiente:
Implicación o
Condicional
El condicional material es un operador que actúa
sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos
proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera
proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier
otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la
siguiente:
Equivalencia, doble
implicación o Bicondicional
El bicondicional o doble implicación es un operador
que funciona dando el valor de verdad cuando ambos valores son iguales y dando
el valor de falsedad cuando ambos valores son diferentes.
La tabla de verdad del bicondicional es la
siguiente:
Videos de apoyo al tema de Lógica
Noción de conjunto.
Para estudiar la
teoría de conjuntos, hay que partir de establecer qué es un conjunto. Al
mencionar esta palabra vienen a la mente ideas como el conjunto de los números
reales (R), un conjunto de personas, un conjunto musical o el conjunto de las
letras del alfabeto, y es que, en efecto, todos estos son conjuntos.
Aunque se plantea
que no es posible definir formalmente el concepto de conjunto, este puede
describirse como una agrupación o colección de objetos, lo que lleva
inevitablemente a establecer qué es un objeto.
Un objeto o
elemento, en la teoría de conjuntos es cualquier cosa, puede ser algo físico,
como una PC, puede ser también una abstracción como un programa y puede
ser incluso un conjunto. Es importante notar que entre los objetos que forman
un conjunto no tiene que haber ninguna característica en común, excepto el
propio hecho de pertenecer al conjunto. Así se encuentran conjuntos homogéneos
como el de las impresoras o el de los componentes de Hard, pero
existen conjuntos tan heterogéneos como se quiera, por ejemplo, un conjunto
formado por una mesa, una persona y una PC.
Hay que aclarar que
un conjunto no es una agrupación física de objetos, sino una abstracción que
puede corresponderse con agrupaciones físicas, pero también con agrupaciones
que sólo existen como idea, tal es el caso del conjunto de trabajos presentados
en los eventos de Infoclub, cada una ocurrió en un momento y lugar
distinto.
Convencionalmente,
los conjuntos suelen nombrarse con letras mayúsculas del alfabeto latino (A, B, C…), mientras los
objetos que los forman se representan con letras minúsculas del mismo alfabeto.
De los objetos que
forman un conjunto se dice que son elementos del mismo o que pertenecen a él.
la siguiente expresión corresponde a la representación Si a es un elemento del
conjunto A, entoces se dice que a pertenece a A
Existen conjuntos
muy utilizados como R, N, Z, para los que es fácil identificar sus elementos,
pero en general no es así, por lo que es útil contar con un modo de
representación de los conjuntos que deje explícito cuáles son los objetos que
los forman. Hay dos maneras básicas de definir y representar un conjunto a
través de los elementos que lo componen, la representación extensional y la
representación intensional o por comprensión.
La representación extensional o por extensión de un conjunto no es más que la enumeración de todos sus elementos,
separados por comas y encerrados entre llaves, los siguientes ejemplos
constituyen representaciones extensionales de cuatro conjuntos de tres
elementos cada uno y un quinto de cuatro elementos:
1.{mouse, Teclado, Speaker}
2.{a, f, g}
3.{1,2,3}
4.{Rojo, Azul,
Verde}
5.{1, f, Maus, Rojo}
La representación intensional o por comprensión, se basa en expresar mediante una fórmula matemática, una
propiedad que describa a todos los elementos del conjunto y que ningún elemento
ajeno al conjunto la cumpla. Esta es una manera mucho más compacta de
representar conjuntos de gran cantidad de elementos e incluso de infinitos
elementos, pero tiene como limitación que no siempre existe tal fórmula y en
muchos casos, aun existiendo, es muy difícil encontrarla. A continuación,
aparecen algunos ejemplos de conjuntos y sus representaciones intencionales.
1.La representación
intensional del conjunto de todos los números reales del intervalo [3...5] es
{x | x pertenece a R, x mayor o igual a 3 y x menor o igual a 5}.
Su representación
extensional sería: {3,4,5}
2.La representación
intensional del conjunto de todos los números naturales múltiplos de 3 es {x |
x pertenece a N, x = 3k, k pertenece a N}
3.{x | 6x7 + 3x2 + 5
= 0} es la representación intensional del conjunto de soluciones de la ecuación
6x7 + 3x2 + 5 = 0
4.{x | x pertenece a
R, | x > 5} es la representación intensional del conjunto de números reales
que no pertenecen al intervalo [-5...5]
Importante es notar
que, para un mismo conjunto, puede haber más de una representación intensional,
como ilustra el siguiente ejemplo:
{x | x pertenece a
R, x > -2, x < 4} y {x | x pertenece a R, | x – 1 | < 3} son
representaciones intencionales del conjunto de números reales del intervalo [-2...4]
Tipos de conjuntos
Conjunto vació o conjunto nulo: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o { }.
A = {x2 +
1 = 0 | x ∈ R}
El conjunto A, es un
conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1
= 0
Conjunto universal o conjunto referencial: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una
población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la
situación, denotado por U o Ω.
La familia de todos
los subconjuntos de un conjunto cualquiera A se llama conjunto potencia,
denotado por P(A) o 2A. Este, si no es el conjunto vacío
contiene, necesariamente ∅ y el mismo conjunto,
llamados subconjuntos impropios. Si B es subconjunto de A es lo
mismo que B sea un elemento del conjunto potencia de A.
Si un conjunto es
finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos
o partes.
A = {1, 2}
El total de
subconjuntos es: 22 = 4
{1,2}, {1}, {2}, { }
Conjuntos disjuntos Son aquellos
que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan
a ambos. F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
G = {a, b, c, d, e,
f}
Partición. Cuando un
conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se
le denomina partición.
Conjuntos finitos Son aquellos
que tienen un número determinado de elementos.
Conjuntos infinitos Son aquellos
que tienen un número indeterminado de elementos.
Inclusión e igualdad entre
conjuntos
Entre los conjuntos
se establecen dos relaciones fundamentales, la inclusión y la igualdad, la
primera expresa que todos los elementos de un conjunto se encuentren en otro,
mientras la segunda plantea que dos conjuntos están formados por los mismos
elementos. A continuación, se formalizarán y ejemplificarán estas relaciones.
Definición. Sean A y B dos
conjuntos, se dice que A está incluido en B, o que A es subconjunto de B si y
sólo si todos los elementos de A son también elementos de B.
Obsérvense los
siguientes ejemplos de inclusión entre conjuntos:
1. {Mouse, Teclado,
Speaker} es subconjunto de {mouse, Teclado, Speaker, 4}
2. {Mouse, Teclado,
Speaker} es subconjunto de {Teclado, Mouse, Speaker}
Este par de ejemplos
evidencia que si A subconjunto B, en B pueden o no, haber elementos que no
pertenecen al conjunto A, por otro lado, de la definición de inclusión queda
claro que en A no puede haber elementos que no pertenezcan a B.
Los siguientes son
también ejemplos de inclusión entre conjuntos:
1. El conjunto de
trabajadores del JCCE Camaguey 5 es un subconjunto del conjunto de trabajadores
de los JCCE de Camagüey.
2. El conjunto de
adiestrados de informática en los Jóvenes Club del Municipio Camaguey es un
subconjunto del conjunto de adiestrados del Municipio, pero no es subconjunto
del conjunto de habitantes del municipio de Camaguey pues entre los estudiantes
mencionados hay algunos que habitan en otros municipios.
3. El conjunto de
los programas de diseños que se imparten en los Jóvenes Club es un subconjunto
del conjunto de los programas de Soft que se imparten en este movimiento.
4. El conjunto de
los ingenieros informáticos es un subconjunto del conjunto de todos los
ingenieros, que a su vez es subconjunto del conjunto de graduados
universitarios.
A partir de la
inclusión entre conjuntos se define la igualdad de la siguiente manera:
Definición. Sean A y B conjuntos, A es igual a B (A = B) si y sólo si A subconjunto B y B subconjunto A.
Definición. Sean A y B conjuntos, A es igual a B (A = B) si y sólo si A subconjunto B y B subconjunto A.
Se evidencia que, si
A es subconjunto de B, todos los elementos de A, son elementos de B, mientras
que como B es subconjunto de A, no existen en B elementos que no pertenezcan al
conjunto A, de lo que se desprende que los elementos de A y B son exactamente los
mismos. A continuación, se ejemplifica la igualdad entre conjuntos.
1. {1, 2, 3} = {1,
2, 3}
2. {1, 2, 3} = {2,
3, 1}
3. {1, 2, 3} = {2,
1, 3}
4. {1, 2, 3} = {1,
2, 1, 3}
De la definición de
igualdad entre conjuntos se desprende que el orden de los elementos de un
conjunto no tiene ninguna importancia, es más, en los conjuntos los elementos
no tienen orden, aunque al representarlos extensionalmente sea inevitable
enumerarlos ordenados de alguna manera. Otra consecuencia lógica de la
definición de igualdad entre conjuntos es que no tiene sentido que existan
elementos repetidos en la representación de un conjunto, lo que se evidencia
mediante el caso 4 del ejemplo anterior, no puede decirse que el segundo
conjunto tiene cuatro elementos, porque sólo está compuesto por los elementos
1, 2 y 3.
Cuando un conjunto A
es subconjunto de otro conjunto B pero estos no son iguales, entonces se dice
que A es subconjunto propio de B.
Los siguientes, son
ejemplos de la relación anterior:
1. {1, 2, 3}
subconjunto propio de {1, 3, 2, 4}
2. {1, 2}
subconjunto propio de {2, 8, 4, 10, 1}
Conjuntos distinguidos
Entre los conjuntos,
existen algunos que tienen características muy particulares que los hacen
objeto de interés especial en la teoría de conjuntos. El primero de estos es
el conjunto vacío, que no es más que la abstracción que representa
al conjunto que no tiene ningún elemento, este se representa mediante una llave
abierta y otra cerrada {}, el conjunto vacío por definición es subconjunto de
todo conjunto. El papel que juega el conjunto vacío entre los conjuntos se
puede comparar al que desempeña el cero entre los números.
Al trabajar con
cualquier tipo de objetos, resulta conveniente fijar un conjunto que contenga
todos los objetos de interés, a este conjunto se le llama Universo de discurso
o simplemente conjunto Universo y se representa como U, de
esta manera cuando se estudian las propiedades de los números naturales U = N,
si se trabaja en el análisis de los números reales U = R y si se hace un
estudio del personal de una empresa, U será el conjunto de trabajadores de la
misma. Es importante señalar que, una vez fijado el Universo de Discurso, todo
conjunto con el que se trabaje será subconjunto de U (a menos que sea un
conjunto de orden superior o conjunto de conjuntos).
El tercer conjunto
distinguido es el conjunto potencia, que se define de la
siguiente manera; dado un conjunto A, el conjunto potencia de A (P(A)) es el
conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Con respecto al conjunto
potencia deben tenerse presente algunos aspectos:
1.Su composición
depende del conjunto A que se tome.
2.Todos sus
elementos son a su vez conjuntos.
3.A y {} pertenecen
a P(A)
Obsérvese el
siguiente ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3}, entonces P(A) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}
Sea A = {1, 2, 3}, entonces P(A) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}
Álgebra de
conjuntos.
El álgebra de conjuntos es el área de la matemática que estudia a
los conjuntos como objetos matemáticos para los que se define un conjunto de
operaciones que cumplen determinadas leyes. Las operaciones del álgebra de
conjuntos son: unión, intersección, complemento, complemento relativo y
diferencia simétrica. A continuación, se define cada una de ellas.
La unión entre
conjuntos es una operación que consiste en obtener, a partir de dos conjuntos,
uno nuevo formado por los elementos de ambos.
Es decir, si A y B son conjuntos, la unión de A y B da como resultado el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y sólo por estos elementos. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {4, 2, 3}, la unión de A y B será {1, 2, 3, 4}, evidentemente los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos A y B, pertenecen a la unión y se representan en esta solo una vez, tal es el caso del 2 en el ejemplo anterior.
Es decir, si A y B son conjuntos, la unión de A y B da como resultado el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y sólo por estos elementos. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {4, 2, 3}, la unión de A y B será {1, 2, 3, 4}, evidentemente los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos A y B, pertenecen a la unión y se representan en esta solo una vez, tal es el caso del 2 en el ejemplo anterior.
Conociendo la
definición de unión, puede comprenderse que es lo mismo referirse al conjunto
de los programas de Soft que a la unión de los conjuntos de los programas de
aplicación, programas de diseños y programas de programación.
En ocasiones es importante trabajar con los elementos que pertenecen simultáneamente a dos conjuntos, por ejemplo, en el grupo de informática de primer año hay un conjunto de estudiantes que son buenos deportistas y un conjunto de estudiantes que son muy buenos académicamente, para los juegos de la carrera se desea determinar que estudiantes pueden representar el año (lo que implica que dejarán de asistir a clases por una semana) sin afectar su desempeño docente, a todas luces los candidatos ideales son aquellos que pertenezcan a los dos conjuntos mencionados, o en otras palabras los que pertenezcan a su intersección.
En ocasiones es importante trabajar con los elementos que pertenecen simultáneamente a dos conjuntos, por ejemplo, en el grupo de informática de primer año hay un conjunto de estudiantes que son buenos deportistas y un conjunto de estudiantes que son muy buenos académicamente, para los juegos de la carrera se desea determinar que estudiantes pueden representar el año (lo que implica que dejarán de asistir a clases por una semana) sin afectar su desempeño docente, a todas luces los candidatos ideales son aquellos que pertenezcan a los dos conjuntos mencionados, o en otras palabras los que pertenezcan a su intersección.
La intersección entre
conjuntos consiste en obtener, a partir de dos conjuntos, uno nuevo formado por
los elementos que se encuentran simultáneamente en ambos.
De modo que, si A y
B son conjuntos, La intersección de A y B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen tanto a A como a B, y sólo por estos elementos. Por
ejemplo, si A = {1,2} y B = {4,2,3}, La intersección de A y B será {2}
Volviendo al caso de
los juegos de la carrera de informática, suponiendo que el conjunto de
estudiantes que son buenos deportistas (D en lo adelante) es {Luis, Leticia,
Alberto, María, José}, mientras el conjunto de estudiantes que son muy buenos
académicamente (A en lo adelante) es {Pedro, Leticia, Rafael, Ana, José}, se
tiene que el conjunto de los estudiantes idóneos para los juegos (J en lo
adelante) es {Leticia, José}, en términos del álgebra de conjuntos se
expresa: J = a la intersección de D y A
Ahora analícese el
siguiente ejemplo. El Departamento de Metodología de los JCCE de Camaguey, está
procesando el análisis de los estudiantes matriculados en el curso, el universo
de su análisis es el conjunto de las edades de cada alumno, en el que se
destacan dos conjuntos: A, el conjunto de los menores de 15 años ; D, el
conjunto de mayores de 15 años, estos dos conjuntos cumplen la propiedad de que
los elementos de uno, son todos los elementos del universo que no pertenecen al
otro. En este caso se dice que A es el complemento de D o viceversa.
El complemento de un conjunto A, (Ac) es el conjunto de todos los elementos que no
pertenecen a A.
Evidentemente debe
estar definido U(universo) y todos los elementos pertenecerán a U. Por ejemplo,
si U = {1,2,3,4,5,6} y A = {4,2,3}, Ac será {1,5,6}
Suele ser útil
aplicar este concepto de complemento, pero en ocasiones en un ámbito más
restringido. Retomando el ejemplo anterior, supóngase que no se desea definir
como universo al conjunto de las edades de los estudiantes en curso (E en lo
adelante), sino al conjunto de las edades de los estudiantes de los últimos
diez años, en tal caso no es posible afirmar que A es el complemento de D, ni
viceversa, pero puede plantearse que A, es el complemento relativo de D con
respecto a E.
El complemento relativo o diferencia de un conjunto A con respecto a un conjunto B, se representa como
B – A y es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a B, pero no
pertenecen a A.
Por ejemplo, si A =
{4, 2, 3} y B = {1, 2}, B - A será {1}. El complemento relativo cualquier
conjunto A, con respecto a U, siempre será Ac.
Supóngase ahora que
se tienen dos conjuntos de automóviles, los de fuerza (F) y los de lujo (L),
hay automóviles que pertenecen a ambos conjuntos, así como los hay que no
pertenecen a ninguno. Un comprador desea adquirir un auto que pertenezca solo a
uno de los conjuntos, sin importarle cual, o sea, él desea analizar para la
compra todos los autos que pertenezcan a F o a L pero no a ambos, en tal caso
se dice que el desea analizar los autos que pertenezcan a la diferencia
simétrica de F y L.
La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a uno de los dos, pero no a ambos.
Por ejemplo, si A =
{1,2} y B = {4,2,3}, la diferencia simétrica de A y B será {1,3,4}, quedando el
2 excluido por pertenecer a ambos conjuntos.
Cubrimientos y particiones.
Entre conjuntos de
conjuntos (comúnmente llamados familias de conjuntos) y conjuntos cualesquiera
se establecen dos relaciones que se explican a continuación.
Una familia de
conjuntos, {A1, ... An} es un cubrimiento de un conjunto B, si y sólo si la
unión de todos los conjuntos de la familia incluye a B.
Obsérvese el siguiente ejemplo:
Obsérvese el siguiente ejemplo:
A1 = {1, 2, 3}, A2 =
{2, 3, 4}, A3 = {6, 8, 10}
B = {1, 3, 4, 8, 10}
La familia de
conjuntos {A1, A2, A3} constituye un cubrimiento de B, sin embargo, {A2, A3} no
lo constituye pues en la unión de los conjuntos de la familia no está el 1 que
sí pertenece a B.
Una partición de
un conjunto B, es una familia de conjuntos {A1, ... An} tal que se cumplan las
siguientes condiciones:
El vacío pertenece a
{A1, ... An}
B es igual a la
unión de Ai
2.La intersección de
Ai y Aj es igual al vacío para toda i, toda j entre 1 y n tal que i diferente
de j
Toda partición es un
cubrimiento, pero todo cubrimiento no es una partición, el ejemplo de
cubrimiento anterior no es una partición sin embargo el siguiente si es un
ejemplo de partición:
A1 = {1, 2}, A2 =
{4, 5}, A3 = {6, 8, 10}
B = {1, 2, 4, 5, 6,
8, 10}
Importante es
aclarar, que tanto en el caso de los cubrimientos como en de las particiones,
la familia de conjuntos puede ser infinita, como en el ejemplo que aparece a
continuación:
Ai = {x | x es
múltiplo de i}
La familia {x | x =
Ai, con i mayor o igual a 1} es cubrimiento de cualquier conjunto de números
enteros positivos.
Videos de Apoyo al tema de Conjuntos
No hay comentarios:
Publicar un comentario